ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІНФОРМАЦІЙНО КОМУНІКАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ Редько Р.А., Гориня Л.М. Лабораторна робота з фізики на тему:Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника Київ 2010 Лабораторна робота №8 Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника Мета роботи. Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт затухання, час релаксації коливань). Теоретичні відомості. В реальних фізичних системах, які здійснюють вiльнi коливання, крім внутрішньої сили, яка повертає систему до положення рівноваги, завжди діють сили тертя та опору. Тому реальні вiльнi коливання відбуваються з поступовими втратами енергії коливань на роботу проти цих сил i створення коливань у навколишньому середовищі, i вони є затухаючими. Розглянемо вiльнi затухаючі коливання математичного маятника. Математичним маятником називається матеріальна точка підвішена на невагомій i нерозтяжній нитці, що коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння. На практиці математичним маятником можна вважати металеву кульку масою m, підвішену на легкій нитці, довжина якої l значно більша за розміри кульки (рис. 1). Центр мас такої системи збігається з центром мас кульки. При вiдхиленнi маятника від положення рівноваги виникає повертаюча до положення рівноваги сила F, яка є складовою сили тяжіння кульки i дорівнює:
, де g – прискорення вільного падіння, α- кутове зміщення маятника відносно положення рівноваги. При малих кутах (α ≤10º )
, (1) де х – лінійне зміщення кульки відносно положення рівноваги. Тому повертаюча сила дорівнюватиме:
, (2) де знак “ - “ вказує на те, що сила напрямлена в протилежну сторону до зміщення х. Повертаюча сила F за природою не є пружною, але як і остання пропорційна зміщенню від положення рівноваги, тому вона називається квазіпружною. Коефіцієнт
називається коефіцієнтом квазіпружної сили. Будемо вважати, що причиною затухання коливань є сила опору в’язкого середовища, яка у випадку невеликої швидкості руху тіла дорівнює:
, (3) де r – коефіцієнт опору, який залежить від в’язкості середовища та форми тіла, а
– швидкість тіла, що дорівнює:
Знак “ - ” в рівнянні (3) вказує на те, що сила опору повітря напрямлена у бік протилежний швидкості кульки. Запишемо рівняння динаміки руху математичного маятника:
, (4) де а – прискорення кульки, яке дорівнює:
Рис. 1. Підставимо вираз для швидкості та прискорення в формулу (4) і отримаємо:
Поділимо останнє рівняння на m і введемо позначення:

(5) Остаточно рівняння вільних затухаючих коливань математичного маятника матиме вигляд:
(6) Розв’язком цього рівняння є функція:
(7) Враховуючи те, що кутове зміщення α відповідно до формули (1) пропорційне лінійному зміщенню х, диференціальне рівняння вільних коливань та його розв’язок можна представити у вигляді:
(8)
, де
- амплітуда затухаючих коливань в довільний момент часу,
амплітуда коливань в початковий момент часу, β – коефіцієнт затухання, визначається формулою (5),
- циклічна частота затухаючих коливань
, (9) де
- власна частота коливань:
(10) Як видно з рівняння затухаючих коливань, амплітуда коливань з часом зменшується, тому затухаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними. Умовний період затухаючих коливань визначається за формулою:
(11) Графік затухаючих коливань зображений на рис. 2. Рис. 2....